8가지 판정법 정리
1. 발산판정법
$\lim_{n \to \infty}a_n$이 존재하지 않거나, $\lim_{n \to \infty}a_n \ne 0$이면 급수 $\sum_{n=1}^\infty a_n$은 발산한다.
2. 적분판정법
$f$가 $(1,\infty)$ 에서 연속이고 양의 값을 갖는 감소 함수라고 하고 $a_n = f(n)$이라 하자.
급수 $\sum_{n=1}^\infty a_n$이 수렴할 필요충분조건은 이상적분 $\int_{1}^{\infty}f(x)dx$가 수렴할 때이다.
3. p급수
$\sum{ 1 \over n^p}$ 과 같은 형태의 급수는
i) $p > 1$ 이면 수렴
ii) $p \le 1$ 이면 발산한다.
p급수 판정법은 적분판정법으로 유도된다.
4. 직접비교판정법
양항급수 $\sum a_n$, $\sum b_n$에 대하여
i) 모든 n에 대하여 $\sum b_n$이 수렴하고 $a_n \le b_n$이면 $\sum a_n$도 수렴한다.
ii) 모든 n에 대하여 $\sum b_n$이 발산하고 $b_n \le a_n$이면 $\sum a_n$도 발산한다.
5. 극한비교판정법
양항급수 $\sum a_n$, $\sum b_n$에 대하여
$\lim_{n \to \infty} {a_n \over b_n} = c$ 이면, 두 급수는 동시에 수렴하거나 발산한다. (c는 양수)
6. 교대급수 판정법
교대급수 $\sum_{n}^{\infty} (-1)^n b_n$이 다음 두 조건을 만족하면 수렴한다.
i) 모든 n에 대하여 $b_{n+1} \le b_n$ (감소)
ii) $\lim b_n=0$
을 만족하면 수렴한다.
ii) 가 수렴하지 않는 경우 발산판정법을 이용한다.
7. 비 판정법
$\lim_{n \to \infty} \left\vert {a_{n+1} \over a_n}\right\vert = L$ 에 대하여
i) $L > 1$ 이면 $\sum_{n}^{\infty} a_n$ 은 절대수렴한다.
ii) $L < 1$ 이면 $\sum_{n}^{\infty} a_n$은 발산한다.
iii) $L = 0$이면 비 판정법으로 알 수 없다. (다른 판정법을 사용한다.)
8. 근 판정법
$\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{\left\vert a_n\right\vert} = L$ 에 대하여
i) $L > 1$ 이면 $\sum_{n}^{\infty} a_n$ 은 절대수렴한다.
ii) $L < 1$ 이면 $\sum_{n}^{\infty} a_n$은 발산한다.
iii) $L = 0$이면 근 판정법으로 알 수 없다. (다른 판정법을 사용한다.)